无穷小是某极限过程中以0为极限的变量. 将无穷小说成时很小的数是错误的.

一. 关于无穷小的运算

当 时,

i. , ，其中m, n, k为常数

ii. , 其中m, n为常数

iii.

例1. (2000年数学二) 若 ­­­­­­­­­_____.

解: 将 泰勒展开:

   于是 

           ,  所以

例2. 求极限

解: 将 泰勒展开, 得:

    =

    所以

例3. 求极限

解:

    所以 

所以

注: i. 关于泰勒展开经济类考生不要求;

   ii. 作题时应注意泰勒展开式中x的最高指数为恰好能求出极限值.

二. 等价无穷小代换

常用的等价无穷小代换公式:

i. 当 :

              ;

ii. 当 :

事实上, 对于较复杂的习题, 经常使用第二种情形的等价无穷小代换.

此外还应该注意到:

i. ;

ii. . 但是由 不能推出 .

例4. (陈文灯 例1.71) 假设

解:

    于是

所以 

结合   可得  . 对于 类型的极限. 可以得到以下公式:

例5. 当 成立.

证明:

     (

例6. (2004年数学二) 已知函数 内可导, , 且满足

     求 .

解: 因为 内可导, 所以 内连续, 所以

    所以 

          =

    所以 

          ,  因为 , 所以 C = 1,

注: 当  
  成立.